OpenAGH e-podręczniki | Pojemność elektryczna

Układ dwóch przewodników, który może gromadzić ładunek elektryczny, przy przyłożonej różnicy potencjałów, nazywamy kondensatorem, a te przewodniki okładkami kondensatora. Rys. 1 przedstawia kondensator płaski, w którym przewodniki (okładki) stanowią dwie równoległe płytki przewodzące.

Rysunek 1: Kondensator płaski

Wielkością charakteryzującą kondensator jest jego pojemność, którą definiujemy następująco:

Definicja 1: Pojemność elektryczna

Pojemnością elektryczną nazywamy stosunek ładunku kondensatora do różnicy potencjałów (napięcia) między okładkami.

(1)

C = \frac{Q}{Δ V}

$\begin{equation}{C=\frac{Q}{\mathit{\Delta V }}}\end{equation}$

Zwróćmy uwagę, że $Q$ jest ładunkiem na każdym przewodniku, a nie ładunkiem wypadkowym na kondensatorze (ładunek wypadkowy równy jest zeru). Pojemność kondensatora płaskiego możemy obliczyć z definicji ( 1 ), korzystając z równania Obliczanie potencjału elektrycznego-( 9 ).

(2)

C = \frac{Q}{Δ V} = \frac{ε_{0} S}{d}

$\begin{equation}{C=\frac{Q}{\mathit{\Delta V}}=\frac{\varepsilon_{{0}}S}{d }}\end{equation}$

Zauważmy, że pojemność zależy od kształtu okładek, ich rozmiaru i wzajemnego położenia. Oznacza to, że dla kondensatorów o innej geometrii obowiązują inne wzory. Równanie ( 2 ) obowiązuje dla kondensatora płaskiego znajdującego się w próżni. Zależność pojemność kondensatora od przenikalności elektrycznej ośrodka jest omówiona w module Kondensator z dielektrykiem.

Definicja 2: Jednostka pojemności

Jednostką pojemności jest farad (

F

$F$ );

1 F = 1 C / 1 V

$1F = 1C/1V$ . Powszechnie stosuje się jednak mniejsze jednostki:

μ F

$\mu F$ ,

n F

$nF$ ,

p F .

$pF.$

Zadanie 1: Obliczanie pojemności próżniowego kondensatora płaskiego

Treść zadania:

Żeby przekonać się, że farad jest dużą jednostką, oblicz pojemność próżniowego kondensatora płaskiego, którego okładki o powierzchni $1 cm^{2}$ są umieszczone w odległości $1 mm$ od siebie.
$C =$

Rozwiązanie:

Dane: $S = 1 cm^{2} = 10^{-4} m^{2}$ , $d = 1 mm = 10^{-3} m$ , $\varepsilon_{0} = 8.85·10^{-12} C^{2}/(Nm^{2})$ .
Pojemność kondensatora płaskiego jest dana wyrażeniem ( 2 ) ${C=\frac{Q}{\mathit{\Delta V}}=\frac{\varepsilon _{{0}}S}{d}}$ .
Podstawiając dane, otrzymujemy $C = 8.85·10^{-13} F = 0.885 pF$ .

Kondensatory są częścią składową prawie wszystkich układów elektronicznych. W celu dobrania odpowiedniej pojemności powszechnie stosuje się ich łączenie w układy szeregowe lub równoległe.

Zadanie 2: Wyprowadzenie wzorów na pojemność wypadkową układu kondensatorów

Treść zadania:

Wyprowadź (lub podaj) wzory na pojemność wypadkową układu kondensatorów połączonych szeregowo i równolegle.
Wskazówka: kondensatory połączone szeregowo mają jednakowy ładunek, a połączone równolegle jednakową różnicę potencjałów.
$C_{sz} =$
$C_{r} =$

Rozwiązanie:

Na Rys. 2 pokazane są układy kondensatorów połączonych równolegle i szeregowo.

Rysunek 2: Układy kondensatorów

Dla połączenia równoległego różnica potencjałów między okładkami wszystkich kondensatorów jest taka sama (połączone okładki stanowią jeden przewodnik)

(3)

Δ V = \frac{q_{1}}{C_{1}} = \frac{q_{2}}{C_{2}} = \frac{q_{3}}{C_{3}}

$\begin{equation}{\mathit{\Delta V}=\frac{q_{{1}}}{C_{{1}}}=\frac{q_{{2}}}{C_{{2}}}=\frac{q_{{3}}}{C_{{3}}}}\end{equation}$

Stąd całkowita pojemność układu

(4)

C = \frac{Q}{Δ V} = \frac{q_{1} + q_{2} + q_{3}}{Δ V} = \frac{(C_{1} + C_{2} + C_{3}) Δ V}{Δ V} = C_{1} + C_{2} + C_{3}

$\begin{equation}{C=\frac{Q}{\mathit{\Delta V}}=\frac{q_{{1}}+q_{{2}}+q_{{3}}}{\mathit{\Delta V}}=\frac{\left(C_{{1}}+C_{{2}}+C_{{3}}\right)\mathit{\Delta V}}{\mathit{\Delta V}}=C_{{1}}+C_{{2}}+C_{{3}}}\end{equation}$

Przy połączeniu szeregowym ładunek wprowadzony na okładki zewnętrzne wywołuje równomierny rozkład (rozdzielenie) ładunku pomiędzy okładkami wewnętrznymi.

(5)

q = Δ V_{1} C_{1} = Δ V_{2} C_{2} = Δ V_{3} C_{3}

$\begin{equation}{q=\mathit{\Delta V}{_{1}}C_{1}=\mathit{\Delta V}{_{2}}C_{2}=\mathit{\Delta V}{_{3}}C_{{3}}}\end{equation}$

Stąd całkowita pojemność układu (jej odwrotność)

(6)

\frac{1}{C} = \frac{Δ V}{q} = \frac{Δ V_{1} + Δ V_{2} + Δ V_{3}}{q} = \frac{\frac{q}{C_{1}} + \frac{q}{C_{2}} + \frac{q}{C_{3}}}{q} = \frac{1}{C_{1}} + \frac{1}{C_{2}} + \frac{1}{C_{3}}

$\begin{equation}{\frac{1}{C}=\frac{\mathit{\Delta V}}{q}=\frac{\mathit{\Delta V}{_{1}}+\mathit{\Delta V}{_{2}}+\mathit{\Delta V}{_{3}}}{q}=\frac{\frac{q}{C_{1}}+\frac{q}{C_{2}}+\frac{q}{C_{3}}}{q}=\frac{1}{C_{1}}+\frac{1}{C_{2}}+\frac{1}{C_{3}}}\end{equation}$

Powyższe wyniki można łatwo uogólnić na przypadek większej liczby kondensatorów.

Definicję pojemności można rozszerzyć na przypadek pojedynczego izolowanego przewodnika.

Definicja 3: Pojemność elektryczna przewodnika

Pojemnością elektryczną przewodnika nazywamy stosunek ładunku umieszczonego na przewodniku do potencjału jaki ma ten przewodnik w polu elektrycznym wytworzonym przez ten ładunek.

(7)

C = \frac{Q}{V}

$\begin{equation}{C=\frac{Q}{V}}\end{equation}$

Dany przewodnik można zatem uważać za jedną z okładek kondensatora, w którym druga okładka kondensatora znajduje się w nieskończoności i ma potencjał równy zeru.

Symulacja 1: Laboratorium kondensatorów

Pobierz symulację

Poznaj jak działają kondensatory. Zobacz jak zmiana rozmiaru okładek i wprowadzenie dielektryka wpływa na pojemność. Zmieniaj napięcie i obserwuj ładunki gromadzące się na okładkach. Obserwuj pole elektryczne w kondensatorze i mierz napięcie i natężenie pola elektrycznego.

Autor: PhET Interactive Simulations University of Colorado