Ruch ładunków elektrycznych w polu magnetycznym

Jak pole magnetyczne wpływa na ruch cząstki naładowanej elektrycznie? Odpowiedź na to pytanie  ukaże nam ogromne możliwości jakie stwarza nauce, technice, medycynie itd. zastosowanie pola magnetycznego do sterowania ruchem cząstek naładowanych. Jeszcze większe możliwości wpływu na ruch cząstek naładowanych stwarza wykorzystanie kombinacji pól magnetycznych i elektrycznych.

Na ładunek elektryczny poruszający się z prędkością w polu magnetycznym o indukcji działa siła Lorentza

.

 (11.2.1)

Ustawmy  układ współrzędnych prostokątnych tak, by oś  Z pokrywała się z kierunkiem wektora indukcji magnetycznej ; Rys.2.2.1. pokazuje konfigurację geometryczną dla naszego przypadku. Kolorem czerwonym zaznaczono wersory wyznaczające kierunki osi współrzędnych. kolorem niebieskim zaznaczono przykładowy wektor prędkości cząstki, a kolorem fioletowym jego rzuty na osie układu współrzędnych. Przez  oznaczono składową prostopadła do wektora ; składowa ta leży w płaszczyźnie XY. Przez oznaczono składową prędkości równoległą do kierunku wektora . Składowa ta równa jest składowej .
Rys 11.2.1. Wektor indukcji magnetycznej i składowe wektora prędkości cząstki w układzie współrzędnych prostokątnych.

Szczegółowe rozwiązanie układu równań Newtona dla ruchu cząstki w kierunkach X, Y, Z przedstawiamy oddzielnie bowiem wymaga wykonania bardziej złożonych obliczeń. Tutaj podajemy jedynie krótką metodę pozwalającą na wyznaczenie promienia krzywizny i skoku linii śrubowej, po jakiej porusza się cząstka w polu magnetycznym.

Ruch cząstki można opisać jako złożenie dwóch niezależnych ruchów: wzdłuż osi Z z prędkością i w płaszczyźnie XY z prędkością .

Ruch wzdłuż osi Z: Kierunek siły Lorentza jest prostopadły do wektora , a więc składowa siły w kierunku osi Z wynosi zero. Ruch wzdłuż osi Z jest więc ruchem jednostajnym z prędkością .

Ruch w płaszczyźnie XY: Wartość siły Lorentza można zapisać w postaci skalarnej jako

.

 (11.2.2)

Zgodnie z definicją iloczynu wektorowego, siła ta skierowana jest zawsze prostopadle do prędkości , może więc zmieniać jedynie kierunek prędkości, a nie jej wartość. Siła o takiej własności jest siłą dośrodkową - pod jej wpływem cząstka porusza się po okręgu, którego promień można wyznaczyć z równania

.

 (11.2.3)

gdzie wyrażenie po prawej stronie, to znany wzór na siłę odśrodkową w ruchu po okręgu.

Z wyrażenia (11.2.3) wyznaczamy więc promień okręgu,

 (11.2.4)

gdzie iloczyn jest tzw. "składową poprzeczną" pędu cząstki. Okres ruchu wynosi

 (11.2.5)

Częstość kołowa 

 (11.2.6)

zwana jest częstością cyklotronową. Częstość ta nie nie zależy od prędkości cząstki, a jedynie od indukcji pola magnetycznego B oraz stosunku ładunku cząstki do jej masy q/m. 

W kierunku osi Z tor jest linią prostą, zaś w płaszczyźnie XY okręgiem. Wobec tego wypadkowy tor będzie linią śrubową zwaną też helisą. Skok helisy równy będzie drodze, jaką w kierunku Z przebędzie cząstka w czasie jednego okresu

 (11.2.7)

 

Opisane zależności możesz teraz sam sprawdzić korzystając z ilustracji interaktywnej demonstrującej ruch cząstki naładowanej w polu magnetycznym dla zadanych przez Ciebie wartości parametrów. Odpowiedz na zawarte tam pytania

MS-Excel Interaktywna ilustracja graficzna  

Kliknij w polu rysunku.

Rys.11.2.2. Przykład ruchu cząstki w polu magnetycznym.