Energia pola magnetycznego

W module Energia pola elektrycznego w kondensatorze pokazaliśmy, że jeżeli w jakimś punkcie przestrzeni istnieje pole elektryczne o natężeniu $E$ , możemy uważać, że w tym punkcie jest zmagazynowana energia w ilości $½\varepsilon_{0}E^{2}$ na jednostkę objętości. Podobnie energia może być zgromadzona w polu magnetycznym. Rozważmy na przykład obwód zawierający cewkę o indukcyjności $L$ . Jeżeli do obwodu włączymy źródło SEM (np. baterię), to prąd w obwodzie narasta od zera do wartości maksymalnej $I_{0}$ . Zmiana prądu w obwodzie powoduje powstanie na końcach cewki różnicy potencjałów $\Delta V$ (SEM indukcji $\varepsilon$ ) przeciwnej do SEM przyłożonej

(1)

Δ V = - L \frac{d I}{d t}

$\begin{equation}{\mathit{\Delta V}=-L\frac{\mathit{dI}}{\mathit{dt}}}\end{equation}$

Do pokonania tej różnicy potencjałów przez ładunek $dq$ potrzeba jest energia (praca) $dW$

(2)

d W = Δ V d q = L \frac{d I}{d t} d q = L d I \frac{d q}{d t} = L I d I

$\begin{equation}{\mathit{dW}=\mathit{\Delta Vdq}=L\frac{\mathit{dI}}{\mathit{dt}}\mathit{dq}=\mathit{LdI}\frac{\mathit{dq}}{\mathit{dt}}={LI}\mathit{dI}}\end{equation}$

Energię tę (pobraną ze źródła SEM) ładunek przekazuje cewce, więc energia cewki wzrasta o $dW$ . Całkowita energia magnetyczna zgromadzona w cewce podczas narastania prądu od zera do $I_{0}$ wynosi więc

(3)

W_{B} = \int d W = \overset{I_{0}}{\int_{0}} L I d I = \frac{1}{2} {L I}_{0}^{2}

$\begin{equation}{W_{{B}}=\int {\mathit{dW}=\overset{I_{{0}}}{\underset{{0}}{\int}}{{LI}\mathit{dI}}}{=\frac{1}{2}{LI}_{0}^{2}}}\end{equation}$

Jeżeli rozpatrywana cewka ma długości $l$ i powierzchnię przekroju $S$ , to jej objętość jest równa iloczynowi $lS$ i gęstość energii magnetycznej zgromadzonej w cewce wynosi

(4)

w_{B} = \frac{W_{B}}{l S}

$\begin{equation}{w_{{B}}=\frac{W_{{B}}}{{lS}}}\end{equation}$

lub na podstawie równania ( 3 )

(5)

w_{B} = \frac{1}{2} \frac{{L I}^{2}}{l S}

$\begin{equation}{w_{{B}}=\frac{1}{2}\frac{{LI}^{{2}}}{{lS}}}\end{equation}$

Przypomnijmy, że dla cewki indukcyjność i pole magnetyczne dane są odpowiednio przez wyrażenia

(6)

L = μ_{0} \frac{N^{2} S}{l}

$\begin{equation}{L=\mu _{{0}}\frac{N^{{2}}S}{l}}\end{equation}$

oraz

(7)

B = μ_{0} I n = μ_{0} I \frac{N}{l}

$\begin{equation}{B=\mu _{{0}}{In}=\mu _{{0}}I\frac{N}{l}}\end{equation}$

co prowadzi do wyrażenie opisującego gęstość energii magnetycznej w postaci

(8)

w_{B} = \frac{1}{2} \frac{B^{2}}{μ_{0}}

$\begin{equation}{w_{{B}}=\frac{1}{2}\frac{B^{{2}}}{\mu _{{0}}}}\end{equation}$

Prawo 1: Energia pola magnetycznego

Jeżeli w jakimś punkcie przestrzeni istnieje pole magnetyczne o indukcji $B$ , możemy uważać, że w tym punkcie jest zmagazynowana energia w ilości ${\frac{1}{2}\frac{B^{{2}}}{\mu _{{0}}}}$ na jednostkę objętości.

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Fizyka

Energia pola magnetycznego

Prawo 1: Energia pola magnetycznego