7. Drgania elektromagnetyczne:

Przemiana energii pola elektrycznego w energię pola magnetycznego i związany z nimi przepływ prądu przemiennego w obwodzie nosi nazwę drgań elektromagnetycznych.

Drgania układu LC:

Drgania niegasnące - układ taki, którego schemat przedstawiony jest na rysunku poniżej, jest układem, w którym pomija się opór, aby drgania mogły być niegasnące. Charakter drgań nasuwa słuszne spostrzeżenia o analogii tego układu do układu mechanicznego masa - sprężyna. Analogia ta będzie przydatna w wyprowadzaniu wzorów, gdzie zasadniczy charakter pozostaje bez zmian w stosunku do drgań mechanicznych a zmieniają się jedynie wielkości fizyczne.

L - indukcyjność cewki

C - pojemność kondensatora

Obwód składa się z cewki i kondensatora połączonych szeregowo. Jeżeli kondensator C naładujemy do napięcia U, to na jego okładkach zgromadzi się ładunek . Podczas ładowania kondensatora w polu między jego okładkami zostaje nagromadzona energia , która maleje przy rozładowywaniu wraz z napięciem U na kondensatorze. Równocześnie płynący przez uzwojenie cewki L, prąd powoduje wzrost jej energii magnetycznej, a więc podczas rozładowywania kondensatora jego energia elektryczna zamienia się w energię magnetyczną cewki. Po rozładowaniu kondensatora prąd w obwodzie nie przestaje płynąć i ładuje kondensator, przy czym powstające między jego okładkami pole elektryczne ma zwrot przeciwny. Wówczas zachodzi zamiana energii magnetycznej cewki, na energię pola elektrycznego kondensatora. Kondensator ponownie rozładuje się i opisany proces powtarza się, lecz w kierunku przeciwnym. W ten sposób powstają drgania elektryczne. Matematyczny opis tego zjawiska, wraz z rysunkiem przedstawiłem obok.

Rysunek. Układ LC jako rezonator drgań niegasnących (R = 0).

 

ε - siła elektromotoryczna powstała po przyłożeniu ładunku na kondensator

U_c - napięcie na kondensatorze

Istota powstawania drgań polega na tym, że po wstępnym naładowaniu kondensatora C ze źródła prądu po pewnym czasie ulega on rozładowaniu i prąd w obwodzie płynący od niego zaczyna przepływać przez cewkę L. Kiedy kondensator całkowicie się rozładuje wówczas następuje gwałtowny spadek napięcia w obwodzie (tym samym również w cewce) co powoduje powstanie SEM będącej wynikiem samoindukcji w cewce. SEM przepływa więc dalej w kierunku kondensatora naładowując go, lecz przeciwnie niż poprzednio. Proces ten zaczyna się powtarzać cyklicznie. Z II prawa Kirchhoffa układa się zależność:

U_c = ε

a wiedząc , że siła elektromotoryczna indukowana w cewce wyraża się wzorem :

        gdzie

Jest równanie różniczkowe drgań niegasnących, którego rozwiązaniem jest funkcja:

       j - przesunięcie fazowe

W układzie złożonym z cewki L kondensatora C następuje wytworzenie prądu przemiennego. Przy rozładowaniu kondensatora, gdy rozładuje się on całkowicie, siła elektromotoryczna wytworzona w cewce powoduje, że prąd zacznie płynąć ale w stronę przeciwną niż na początku. Spowoduje to ponowne naładowanie kondensatora ładunkiem o przeciwnym kierunku niż przed rozładowaniem. Okres T drgań takiego obwodu wynosi:

           

 

Drgania układu RLC:

Drgania tłumione - układ ten różni się od poprzedniego tym, że został dodatkowo „wyposażony” w rezystor, (czyli opór R). Prowadzi to do zmian w rozwiązaniu równania różniczkowego dla tego typu drgań a przede wszystkim zmiany samego tego równania. Podstawowe założenia są następujące:

-napięcie na okładkach kondensatora wynosi

-siła elektromotoryczna cewki

-spadek napięcia na rezystorze

-prąd jest pochodną ładunku Q po czasie dt

Zachodzi równość :

czyli:

ponieważ:

    w_o - częstość kołowa początkowa

        β - stała tłumienia

otrzymujemy:

Rozwiązaniem tego równania różniczkowego jest:

 (2)

gdzie:

Z równania (2) wynika więc, że amplituda zmniejsza się z upływem czasu.

 

Drgania wymuszone - kolejny typ drgań, w których do drgań własnych danego układu dodano jeszcze siłę wymuszającą F_w. Siła ta, w przypadku drgań układy RLC to siła SEM o częstości kołowej ω. Równanie wartości siły wymuszającej względem czasu opisuje poniższe równanie:

Równanie biorące pod uwagę wszystkie drgania i siły występujące w układzie RLC i spełniające prawo Kirchhoffa ma postać:

Podstawiając do powyższego równania odpowiednie wzory (tak jak w drganiach opisanych wcześniej) otrzymujemy:

Jest to równanie różniczkowe drgań wymuszonych, którego rozwiązaniem jest funkcja:

Przy czym Amplituda drgań I_o określona jest zależnością:

Natomiast przesunięcie fazowe j wyraża się wzorem:

STRONA GŁÓWNA

 

[<<< wstecz]  [dalej >>>]